Espacios vectoriales euclideos

En este blog, vamos a tratar acerca de los usos de lo que hemos aprendido en la asginatura de Algebra II:

Un ejemplo de la utilización del algebra en nuestra vida cotidiana es el caso de los espacios afines y las variedades afines las cuales tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en el desarrollo de videojuegos:

·       Detección de colisiones:

Para evitar la colisión entre personajes, o de estos con objetos, se utilizan técnicas en las que por ejemplo se ve involucrado la proyección ortogonal de un personaje u objeto sobre otro, de esta forma si se intersecan, es decir, la distancia es igual a 0, ha ocurrido una colisión.

En este caso no es una colisión pero para detectar que el balón, sobrepasa la línea de gol o si un jugador le roba el balon a otro se usan estas colisiones y por tanto espacios afines.

·       Distancias:

Al igual que para detectar las colisiones, se utilizan los espacios afines para calcular distancias de un punto a otro.

·       Animación de personaje:

También los espacios afines son utilizados para la animación de personajes, definiendo sus movimientos y posiciones en el espacio, por ejemplo, la posición de los pies, de las manos... utilizando técnicas de interpolación para que sean suaves y realistas.

Renderizado: 

Para la visualización de los videojuegos, se utilizan técnicas de renderizado donde se calcula la posición e intensidad de los puntos de luz en el espacio, para si modelar la geometría de los objetos y sobre todo la luz que incide en ellos.

Se busca la mejor posición para la iluminación.

En general, espacios afines y variedades afines tiene un gran uso dentro de los videojuegos para modelar personajes y objetos, aunque son usados en muchos más aspectos, además de ser utilizado en otros ámbitos como la arquitectura, para modelar puentes, edificios, puentes…

Una utilidad para aplicar algebra en videojuegos es una transformación lineal, por la cual podemos cambiar la posición de una coordenada.

Gracias a ciertas herramientas, se pueden hacer transformaciones de objetos en escenas 2D/3D. Dichas transformaciones pueden referirse tanto a posición, rotación y escala de una figura. Se puede ver algebraicamente como una transformación Vi ∈ R3.

T: V => W es una transformación lineal si:

1. T (u + v) = T(u) + T(v)

2. T(αu) = α T(u) ∀ α ∈K, ∀ u ∈V

Se transforma la posición según la aplicación.

L (x, y, z) = (x, x + y, -x)

Transformara una coordenada del tipo (1,2,1) en (1, 3, -1).

Para una rotación, podemos utilizar la función de R3 => R3

En caso de que fuera videojuegos en 2D, las transformaciones serían similares, pero en R2.